Размерности и проценты
Размерности величин
Величина может иметь размерность: тогда эта величина представляет собой произведение числа и единицы измерения, которая сама не является числом. Например, $TR=1000\ руб$. Удобно воспринимать это как произведение: $1\ руб= 1\cdot руб = руб$. Если это выручка, полученная от пяти ящиков "Эджворта", то цена напитка $P=\frac{1000\ руб}{5\ ящ}=200\frac{руб}{ящ}$. Удобство в том, что можно переводить одни единицы измерения в другие, при этом сохраняя сам объект (в данном случае цену напитка) неизменным: $ P=200\frac{руб}{ящ}= 200\frac{руб}{20\ бут}=10\frac{руб}{бут}$ — это ровно та же цена напитка, поэтому смело ставим знак равенства. Такой подход удобен в быту, когда мы ограничиваемся четырьмя арифметическими операциями. Если же мы хотим моделировать взаимосвязи между экономическими переменными какими-то сложными зависимостями, то тут с размерностями получается куча неудобств: пришлось бы писать что-то вроде $Q(P)= ящ\cdot\sin (P\cdot \frac{ящ}{руб})-P\cdot\frac{ящ^2}{руб}+10\ ящ $. В эту формулу можно смело подставлять хоть $200\frac{руб}{ящ}$, хоть $10\frac{руб}{бут}$, и на ответ это не повлияет. Но плата за это удобство слишком высока. Вместо этого пишут так: $ Q(P)=\sin (P)-P+10 $, а где-нибудь рядом добавляют, что цена измеряется в рублях за ящик, а количество — в ящиках. То есть, строго говоря, теперь P — это уже не цена, а то, что получается, если записать цену в рублях за ящик, а потом стереть единицу измерения. Теперь надо быть начеку: прежде чем подставлять число в формулу, нужно убедиться, что это число ящиков, а не число бутылок. В последней формуле P и Q теперь формально безразмерные величины, хотя мы и помним, что за ними стоит.Абсолютные и относительные изменения
Пусть некоторая переменная $x$ меняется со временем. Зафиксируем два момента времени и назовём их 0 и 1. Обозначим $x_0$ — первоначальное значение нашей переменной, $x_1$ — новое значение. Например, x может быть ценой на хлеб, момент 0 — началом года, а момент 1 — концом года. Абсолютное изменение (абсолютный прирост) переменной — это разность между новым и старым значением: $\Delta x=x_1-x_0$ $\Delta \text{чего-то} = \text{новое значение этого чего-то} - \text{старое значение этого чего-то}$ Абсолютное изменение измеряется в тех же единицах, что и сама переменная: 3 руб/шт – 2 руб/шт = 1 руб/шт Абсолютные изменения часто малоинформативны. Представьте, что ваши доходы выросли на 1 млн рублей в год. Это может сильно изменить ваш образ жизни. А теперь представьте, что на тот же 1 млн рублей в год выросли доходы государственного бюджета. Много ли это? В соответствующей таблице Федеральной службы государственной статистики изменение доходов в 1 млн рублей даже не отразится, поскольку показатели там публикуются с точностью до сотен миллионов рублей. Видимо, потому что изменение в 1 млн рублей для госбюджета не слишком существенно. Как говорится, всё относительно: один волос на голове — мало, один волос в супе — много. Чтобы оценить, насколько существенно изменение некоторой переменной, нужно сравнить его с какой-нибудь величиной той же размерности и понять, во сколько раз оно больше или меньше. Первое, что приходит в голову — сравнить изменение переменной с её первоначальным значением. Так рождается понятие относительного (процентного) изменения переменной: $\text{относительное изменение}=\frac{\text{абсолютное изменение}}{\text{первоначальное значение}}$ $\Delta_\%x=\frac{\Delta x}{x_0}=\frac{x_1-x_0}{x_0}=\frac{x_1}{x_0}-1$ (Я не знаю общепринятого обозначения для относительного (процентного) изменения величины x, поэтому придумал своё: $\Delta_\%x $.) Величина $\frac {x_1}{x_0}$ называется индексом роста переменной x, то есть индекс роста показывает, во сколько раз выросла переменная. Таким образом, получаем формулу: $\text{индекс роста} = 1 + \text{относительное изменение}$ Замечу, что не для всех переменных имеет смысл считать относительное изменение. Если переменная — это количество каких-нибудь объектов, то, как правило, всё OK: если удвоилось количество денег в вашем кошельке, вы можете купить в два раза больше товаров (если цены не поменялись); в поход собралось в два раза больше людей — нужно запастись в два раза большим количеством спальных мешков, и т. п. А вот если вы узнаёте, что сегодня температура воздуха в два раза выше, чем вчера, то сам по себе этот факт мало о чём говорит. Если сейчас лето, то этот факт будет означать, что наступила жара, а если температура была чуть-чуть выше нуля, то вы можете не ощутить и стократное её увеличение. Если же вы приехали из США со своим термометром, то он в той же ситуации покажет увеличение температуры в гораздо более скромное число раз (в градусах Фаренгейта). Дело в условности температурных шкал: они просто дают тем большее значение, чем теплее, но начало отсчёта и единица измерения задаются достаточно произвольно.Проценты
Относительные изменения многих переменных за типично рассматриваемые промежутки времени часто составляют несколько десятых или несколько сотых. К примеру, относительное изменение доходов госбюджета за 2008 год равно 0,20, а если с поправкой на инфляцию, то 0,06. В связи с этим (для удобства) для относительных изменений почти всегда используют особую "единицу измерения" — процент. Процент (от латинского pro centum — по отношению к ста) — это просто число $\frac{1}{100}$. $100\%=100\cdot \%=100\cdot \frac{1}{100}=1$ 0,20=20% 0,06=6% Выражение "6% от чего-то" означает "6% $\cdot$ это что-то". Если относительное изменение переменной x равно 6%, то это значит, что она выросла на 6% от своего первоначального значения: $x_1=x_0+x_0\cdot 6\%=x_0(1+6\%)=x_0(1+0,06)=1,06x_0$ Слова "от своего первоначального значения", в основном, всегда опускают для краткости, и говорят просто: "x вырос на 6%". Замечу, что относительное изменение, формально говоря, безразмерная величина (даже если оно представлено в форме $x\cdot \%$), потому что оно равно некоторому числу. А вот, например, 5 кг не является безразмерной величиной, потому что 5 кг не равно никакому числу. В процентах выражают не только относительное изменение, но и многие другие безразмерные величины. Как правило, эти величины меньше единицы, то есть меньше 100%. Приведу несколько примеров. 1) Доля, т. е. отношение части к целому. Например, уровень безработицы — отношение количества безработных к численности рабочей силы: этот показатель принципиально не больше единицы, да к тому же, как правило, не превышает 0,10, поэтому его удобно выражать в процентах. Другой пример — ставка подоходного налога, т. е. доля той части заработанного дохода, которую вы отдаёте государству. Эта ставка тоже не бывает больше 100%, т. к. никто не станет работать, если придётся отдавать больше, чем он заработал. 2) Годовой темп инфляции (относительное изменение уровня цен за год). Он в приличных странах тоже меньше 100%, хотя теоретически он может быть сколь угодно большим. 3) Номинальная ставка процента по кредиту. Если годовая ставка равна i, то, взяв в долг сумму X, через год нужно будет вернуть $X+X\cdot i$. По каким-то неведомым мне причинам годовые ставки почти всегда меньше 100% (по крайней мере, в отсутствие высокой инфляции). Кстати, словом "проценты" традиционно также называют сумму денег, уплачиваемую за пользование кредитом; в нашем примере — величину $X\cdot i$. Когда люди описывают изменение какой-то безразмерной величины вроде перечисленных выше, в большинстве случаев они вычисляют не относительные, а абсолютные изменения. Скажем, если уровень безработицы вырос с 5% до 6%, то удобнее говорить об абсолютном изменении в 1% ($6\%-5\%=1\%$), чем об относительном изменении в 20% ($\frac{6\%-5\%}{5\%}=20\%$). При этом, чтобы не возникало путаницы в выражении "x вырос на ...", говорят "уровень безработицы вырос на 1 процентный пункт" (сокращённо "п. п."). Ведь если сказать "уровень безработицы вырос на 1%", то можно подумать, что имеется в виду "на 1% от своего первоначального значения" (как это обычно бывает, когда говорят об изменении размерных величин), и новый уровень безработицы, таким образом, составляет $5\%\cdot(1+1\%)=5,05\%$. Все эти ухищрения нужны для того, чтобы люди поняли друг друга правильно, когда они выражают мысли словами. Когда же мы пишем формулами, проблем не возникает; есть всего два варианта: $x_1=x_0+6\%$ и $x_1=x_0\cdot 1,06$, и мы легко можем выбрать подходящий. Упражнение 1. Цена градусника меняется каждый год: за каждый чётный год она растёт на 10%, а за каждый нечётный — падает на 10%. Сейчас градусник стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить через 200 лет, если ближайший год — чётный? А если нечётный? Показать решение Я не раз встречал людей, которые считают, что нельзя писать «0,06=6%», а надо писать что-то вроде:Несколько слов о терминологии
Относительное изменение по-другому называют процентным изменением, а ещё темпом (при)роста. В русскоязычных учебниках различают темп прироста (относительное изменение) и темп роста (темп прироста плюс 100%, ну то есть плюс единица). Спрашивается, зачем понадобилось вводить ещё одно понятие, если оно отличается от уже существующего всего на единицу? Думаю, самое правдоподобное объяснение того, почему оно прижилось, заключается в том, что с помощью него удобно создавать ложное впечатление: скажем, если прибыль упала на 20%, то можно гордо заявить, что "темп роста прибыли равен 80%" :) В англоговорящем мире темп прироста называется "growth rate", что часто переводят на русский как "темп роста", так что будьте начеку. В большинстве случаев, как его ни назови, имеется в виду именно относительное изменение, а не оно плюс единица. Упражнение 2. Цена уменьшилась на 10%, а выручка увеличилась на 20%. На сколько процентов изменился объём продаж? Показать решениеПоследнее изменение: 10.9.2026